牟合方盖三视图，牟合方盖的推理(2)

牟合方盖的推理

在这个立体里面，可以内切一个半径和原来圆柱体一样大小的球体。

刘徽指出，由于内切圆的面积和外切正方形的面积之比为 π : 4(见图)所以球体体积与“牟合方盖”的体积之比亦应为 π :4。

显然,只要求出牟合方盖的体积，那么球体积便迎刃而解。可惜的是，刘徽功亏一篑，未能求出牟合方盖的体积。

二百年后，能实现刘徽愿望的人终于出现了。他就是祖暅!祖暅是南北朝时代大数学家祖冲之的儿子。祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算，他的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一来研究。

设OP = h，过 P 点作平面 PQRS 平行于 OABC。又设内切球体的半径为 r，则 OS = OQ = r，由勾股定理，不难证明等高处阴影部分的面积总相等。所以，有理由相信，虽然方锥跟小正立方体去掉小“牟合方盖”后的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积也就不能不是相等的了。于是他提出了著名的原理：“缘幂势既同，则积不容异。”再根据刘徽的想法，可求出球体体积公式。

牟合方盖公式

直径=3√(球体体积×16/9)

球体体积=(9x 直径^3)/16